Mitä tarkoittaa alkulukujen zeta-funktio?

Matematiikassa Riemannin zeeta-funktio on kompleksitason kuvaus, joka liittyy alkulukujen jakaumaan ja on siksi mielenkiintoinen mm. lukuteorian kannalta.

Sisällysluettelo [piilota]
1 Määritelmä
2 Integraaleja
3 Kaavoja jotka sisältävät zeetafunktion
4 Katso myös
Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Riemannin zeeta-funktio {displaystyle zeta (s)} zeta(s) on määritelty kompleksiluvuille {displaystyle s} s, joiden reaaliosa {displaystyle >1} > 1, summaksi

{displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}} zeta(s) = sum_{n=1}^infty frac{1}{n^s}.
Alueessa {displaystyle {sin mathbb {C} :mathrm {Re~} s>1}} {s in mathbb{C}: mathrm{Re~} s > 1} tämä sarja suppenee ja zeeta-funktio on analyyttinen. Bernhard Riemann keksi, että zeeta-funktiota voidaan analyyttisesti jatkaa meromorfiseksi funktioksi, joka on määritelty koko kompleksitasossa lukuun ottamatta pistettä {displaystyle 1} 1. Tämä funktio on kyseessä Riemannin hypoteesissa.

Integraaleja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Jos {displaystyle scriptstyle sin mathbb {C} setminus {1}} scriptstyle sinmathbb{C}setminus{1} pätevät kaavat

{displaystyle zeta (s)={frac {2^{s-1}}{s-1}}-2^{s}int limits _{0}^{infty }{frac {sin(sarctan t)}{(1+t^{2})^{frac {s}{2}} (mathrm {e} ^{pi ,t}+1)}},mathrm {d} t} zeta(s) = frac{2^{s-1}}{s-1}-2^sintlimits_0^{infty}frac{sin(sarctan t)}{(1+t^2)^frac{s}{2} (mathrm{e}^{pi,t}+1)},mathrm{d}t
ja

{displaystyle zeta (s)={frac {1}{s-1}}+{frac {1}{2}}+2int limits _{0}^{infty }{frac {sin(sarctan t)}{(1+t^{2})^{frac {s}{2}} (mathrm {e} ^{2,pi ,t}-1)}},mathrm {d} t.} zeta(s)= frac{1}{s-1} + frac12+2intlimits_0^inftyfrac{sin(sarctan t)}{(1+t^2)^frac{s}{2} (mathrm{e}^{2,pi,t}-1)},mathrm{d}t.
Jos {displaystyle 0<Re(s)<1!} 0<Re(s)<1! on

{displaystyle int _{0}^{infty }x^{s-1}{frac {gamma x+log Gamma (1+x)}{x^{2}}},dx={frac {pi }{sin(pi s)}}{frac {zeta (2-s)}{2-s}}!} int_0^infty x^{s-1} frac{gamma x+logGamma(1+x)}{x^2} , dx= frac{pi}{sin(pi s)}frac{zeta(2-s)}{2-s} !.
Integraali zeetafunktion derivaatalle on

{displaystyle {zeta '(s)=2^{s-1}left({frac {log 2}{s-1}}-{frac {1}{(s-1)^{2}}}+int limits _{0}^{infty }{frac {2arctan tcdot cos(sarctan t)+log {frac {4}{1+t^{2}}}cdot sin(sarctan t)}{(1+t^{2})^{frac {s}{2}}cdot (e^{pi t}+1)}}mathrm {d} tright)}} {zeta'(s) = 2^{s-1}left(frac{log 2}{s-1} -frac{1}{(s-1)^2} + int limits_0^infty frac{2 arctan t cdot cos(s arctan t) + log frac{4}{1 + t^2} cdot sin(
s arctan t)}{(1 + t^2)^{frac{s}{2}} cdot (e^{pi t} + 1)} mathrm{d}tright) }
joka pätee kaikille kompleksiluvuille paitsi kun s=1.

Kaavoja jotka sisältävät zeetafunktion[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
{displaystyle sum _{k=2}^{infty }zeta (k)x^{k-1}=-psi _{0}(1-x)-gamma } sum_{k=2}^infty zeta(k) x^{k-1}=-psi_0(1-x)-gamma
missä ψ0 on digammafunktio.

{displaystyle sum _{n=2}^{infty }(zeta (n)-1)=1} sum_{n=2}^infty (zeta(n) -1) = 1
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }(zeta (2n)-1)={frac {3}{4}}} sum_{n=1}^infty (zeta(2n) -1) = frac{3}{4}
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }(zeta (2n+1)-1)={frac {1}{4}}} sum_{n=1}^infty (zeta(2n+1) -1) = frac{1}{4}
{displaystyle sum _{n=2}^{infty }(-1)^{n}(zeta (n)-1)={frac {1}{2}}} sum_{n=2}^infty (-1)^n(zeta(n) -1) = frac{1}{2}
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {zeta (2n)-1}{2^{2n}}}={frac {1}{6}}}
sum_{n=1}^{infty}frac{zeta(2n)-1}{2^{2n}} = frac16
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {zeta (2n)-1}{4^{2n}}}={frac {13}{30}}-{frac {pi }{8}}}
sum_{n=1}^{infty}frac{zeta(2n)-1}{4^{2n}} = frac{13}{30}-frac{pi}{8}
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {zeta (2n)-1}{8^{2n}}}={frac {61}{126}}-{frac {pi }{16}}({sqrt {2}}+1)}
sum_{n=1}^{infty}frac{zeta(2n)-1}{8^{2n}} = frac{61}{126}-frac{pi}{16}(sqrt2+1)
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }(zeta (4n)-1)={frac {7}{8}}-{frac {pi }{4}}left({frac {e^{2pi }+1}{e^{2pi }-1}}right)}
sum_{n=1}^{infty}(zeta(4n)-1) = frac78-frac{pi}{4}left(frac{e^{2pi}+1}{e^{2pi}-1}right)
{displaystyle log 2=sum _{n=1}^{infty }{frac {zeta (2n)-1}{n}}}
log 2=sum_{n=1}^{infty}frac{zeta(2n)-1}{n}
{displaystyle log pi =sum _{n=2}^{infty }{frac {(2({tfrac {3}{2}})^{n}-3)(zeta (n)-1)}{n}}.}
log pi=sum_{n=2}^{infty}frac{(2(tfrac32)^n-3)(zeta(n)-1)}{n}.
Sarjoja Eulerin vakiolle:

{displaystyle sum _{n=2}^{infty }(-1)^{n}{frac {zeta (n)}{n}}=gamma } sum_{n=2}^infty (-1)^n frac{zeta(n)}{n} = gamma
{displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {zeta (n)-1}{n}}=1-gamma } sum_{n=2}^infty frac{zeta(n) - 1}{n} = 1 - gamma
{displaystyle sum _{n=2}^{infty }(-1)^{n}{frac {zeta (n)-1}{n}}=ln 2+gamma -1} sum_{n=2}^infty (-1)^n frac{zeta(n)-1}{n} = ln2 + gamma - 1
{displaystyle sum _{n=2}^{infty }(-1)^{n}{frac {zeta (n)}{n2^{n-1}}}=gamma -log {frac {4}{pi }}} sum_{n=2}^infty (-1)^n frac{zeta(n)}{n2^{n-1}} = gamma - log frac{4}{pi}
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {zeta (2n+1)-1}{(2n+1) 2^{2n}}}=1+log {frac {2}{3}}-gamma .} sum_{n=1}^{infty}frac{zeta(2n+1)-1}{(2n+1) 2^{2n}} = 1+log frac{2}{3}-gamma.
Sarja Catalanin vakiolle:

{displaystyle {frac {1}{16}}sum _{n=1}^{infty }(n+1) {frac {3^{n}-1}{4^{n}}} zeta (n+2)=G.} frac{1}{16}sum_{n=1}^infty (n+1) frac{3^n-1}{4^n} zeta(n+2) = G .
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}t^{2n}left[zeta (2n)-1right]={frac {t^{2}}{1+t^{2}}}+{frac {1-pi t}{2}}-{frac {pi t}{e^{2pi t}-1}}} sum_{n=1}^infty (-1)^{n} t^{2n} left[zeta(2n)-1right] =
frac{t^2}{1+t^2} + frac{1-pi t}{2} - frac {pi t}{e^{2pi t} -1}
{displaystyle sum _{k=0}^{infty }{frac {zeta (k+n+2)-1}{2^{k}}}{{n+k+1} choose {n+1}}=left(2^{n+2}-1right)zeta (n+2)-1} sum_{k=0}^infty frac {zeta(k+n+2)-1}{2^k}
{{n+k+1} choose {n+1}}=left(2^{n+2}-1right)zeta(n+2)-1
{displaystyle sum _{k=0}^{infty }{k+nu +1 choose k}left[zeta (k+nu +2)-1right]=zeta (nu +2)} sum_{k=0}^infty {k+nu+1 choose k} left[zeta(k+nu+2)-1right]
= zeta(nu+2)
{displaystyle sum _{k=0}^{infty }{k+nu +1 choose k+1}left[zeta (k+nu +2)-1right]=1} sum_{k=0}^infty {k+nu+1 choose k+1} left[zeta(k+nu+2)-1right]
= 1
{displaystyle sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{k+nu +1 choose k+1}left[zeta (k+nu +2)-1right]=2^{-(nu +1)}} sum_{k=0}^infty (-1)^k {k+nu+1 choose k+1} left[zeta(k+nu+2)-1right]
= 2^{-(nu+1)}
{displaystyle sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{k+nu +1 choose k+2}left[zeta (k+nu +2)-1right]=nu left[zeta (nu +1)-1right]-2^{-nu }} sum_{k=0}^infty (-1)^k {k+nu+1 choose k+2} left[zeta(k+nu+2)-1right]
= nu left[zeta(nu+1)-1right] - 2^{-nu}
{displaystyle sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{k+nu +1 choose k}left[zeta (k+nu +2)-1right]=zeta (nu +2)-1-2^{-(nu +2)}} sum_{k=0}^infty (-1)^k {k+nu+1 choose k} left[zeta(k+nu+2)-1right]
= zeta(nu+2)-1 - 2^{-(nu+2)}