Mitä tarkoittaa alkulukujen zeta-funktio?

Vastaus:

Alkulukujen zeta-funktio viittaa yleensä Riemannin zeta-funktioon, joka on tärkeä käsite número teoriassa ja analyyttisessä matematiikassa. Riemannin zeta-funktio, merkittynä (zeta(s)), on määritelty kompleksimuotoiselle muuttuja (s) arvoille, joiden reaaliosa on suurempi kuin 1, seuraavasti:

[
zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}
]

Tämä äärettömän summan voi laajentaa myös muihin arvoihin, käyttäen analyyttistä jatkamista. Yksi Riemannin zeta-funktion tärkeimmistä ominaisuuksista on sen yhteys alkulukuihin, joka ilmenee muun muassa Eulerin kaavan kautta. Euler osoitti, että zeta-funktio voidaan esittää tuotteen muotoisena, joka kattaa kaikki alkuluvut:

[
zeta(s) = prod_{p , ext{alkuluku}} frac{1}{1 - p^{-s}}
]

Tämä ilmaisee, että Riemannin zeta-funktio on tiiviisti kytköksissä alkulukujen jakaumaan. Riemannin zeta-funktion merkittävin avoin kysymys on Riemannin hypoteesi, joka väittää, että kaikki ei-triviaaliset nollat sijaitsevat niin sanotulla "kritiiviin viivalla", eli reaaliosan ollessa 1/2.

Riemannin zeta-funktio on keskeinen työkalu monilla matematiikan aloilla, kuten lukuteoriassa, analyysissä ja osittaisdifferentiaalisissä yhtälöissä, ja sillä on myös sovelluksia fysiikassa ja muissa tieteissä.

Lisää vastaus