Mitä tarkoittaa lineaarinen riippuvuus?

Vastaus:

Lineaarinen riippuvuus tarkoittaa, että joukko vektoreita on lineaarisesti riippuvainen, jos jokainen vektori voidaan esittää muiden vektorien lineaarikombinaationa. Toisin sanoen, jos on olemassa kertoimet, jotka eivät kaikki ole nollia, ja joiden avulla voidaan kirjoittaa jokin vektori muiden vektorien avulla, niin nämä vektorit ovat lineaarisesti riippuvia.

Jos joukko vektoreita on lineaarisesti riippumaton, se tarkoittaa, että ei ole olemassa sellaisia kertoimia, jotka voisivat yhdistää vektorit toisiinsa siten, että tuloksena olisi nollavektori (ilman että kaikki kertoimet ovat nollia).

Esimerkiksi, jos meillä on kaksi vektoria ( mathbf{v_1} ) ja ( mathbf{v_2} ) avaruudessa, joka on kaksiulotteinen, nämä vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, jos ne ovat samansuuntaiset. Toisaalta, jos ne muodostavat kulman, ne ovat lineaarisesti riippumattomat.

Matemaattisesti tämä voidaan formuloida seuraavasti: Vektorit ( mathbf{v_1}, mathbf{v_2}, ldots, mathbf{v_n} ) ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa kertoimet ( c_1, c_2, ldots, c_n ), joiden ei kaikki tarvitse olla nollia, siten että:

[
c_1 mathbf{v_1} + c_2 mathbf{v_2} + ldots + c_n mathbf{v_n} = mathbf{0}
]

Jos tällaista yhdistelmää ei ole, vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Lisää vastaus